Deben realizar una publicación en el blog de la interpretación que se le da a la continuidad en funciones de variable compleja, apoye sus opiniones usando como base citas de los textos de Variable compleja que se sugieren en el Blog de la Materia.
La Fecha para la revisión de dicha publicación será el día lunes 23 de Mayo, y la hora tope para la realización de la misma será las 10 p.m.
Se penalizaran con 5 puntos menos por hora de atrazo, cada publicación con respecto a la hora tope establecida.
Sea f (z) una función con valores complejos, definidas en un subconjunto del plano complejo
ResponderEliminarDecimos entonces que el límite de f (z) como z tiende a un punto de acumulación de z existe y es igual al número complejo L si, para cualquier número real ε> 0 podemos encontrar un número real δ> 0 tal que | f (z) - L ε para todos
. .
Una definición alternativa pero equivalente se puede realizar utilizando conjuntos abiertos: se dice que el límite existe y es igual al número complejo L si, para cualquier número real ε> 0 podemos encontrar un barrio de O z 0 tal que | f (z) - L | <ε se cumple para todos los
Desde la primera definición es más fácil trabajar con, a veces se utiliza ese.
Una función w = f (z) se llama continua en z 0 si f (z 0) y se define
Si una función es continua en cada punto de un conjunto, decimos que es continua durante todo ese conjunto.
Además, nos limitaremos a decir que una función es continua si es continua en todas partes.
Interpretación, que se le da a la Continuidad en funciones de Variable Compleja
ResponderEliminarLas funciones continuas y las complejas son consideradas elementos que vienen dado a traves del conocimiento de las funciones hiperbolicas,trigonometricas y periodicas, las cuales según el material utilizado , son extenciones complejas de seno y coseno.
Por continuidad se entiende que es el trato o uso de del Calculo Integral necesario para la determinar las diferenciaciones, sucesiones y series matematicas y el analisis de sus elementos entre los que se podria mencionar los espacioas metricos y topologicos. Ejemplo
CONTINUIDAD
x
b
bc
a
f(a)
U(a)
U(f(a))
Asi mismo la continuidad se apega a los conceptos de Proximidad y distancia , la logica entonces nos determina que en la continuidad no hay saltos.
En los casos presentados en el material de apoyo con respecto a las funciones de variables complejas , continuas y limites podemos analisar o considerar:
1. La definiciones no exigen condiciones especiales al respecto al punto a , salvo que pertenezca al dominio de la funci´on para que exista f(a).
2. En el concepto se inserta U(a) con D, dominio de la funci´on, para asegurar que para los puntos X considerados exista imagen f(X).
3. En particular, el conjunto U(a) ∩ D nunca es vac´ıo porque por lo menos contiene al punto a
Se gun el teorema que se extrae de esta definiciones debemos tener en cuenta las funciones continuas dadas en los puntos aislados del dominio.
a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a
Demostraci´on.
Por definici´on de Pt. aisl:
∀ U(f(a)) ∃ U(a) : U(a) ∩ D = {a}
Luego
∀ X ∈ U(a) ∩ D =⇒
∀ X ∈ {a} =⇒ f(a) ∈ U(f(a))
Recordar que la continuidad que precede al concepto de limite por dos , ya que, dese el punto de vista heuristico el limite es una extension de continuidad , igualmente existen funciones continuas que no poseen limites y se definen como : PUNTOS AISLADOS.
Con respecto a esto la definicion de funciones de variables complejas se reduce a la forma operativa de un plano ejemplo:
|z y |w.
U(a) = {z : |z − a| < δ}
U(f(a)) = {w : |w − f(a)| < ǫ}
resultando:
f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f(z) − f(a)| < ǫ
Para poder hablar de continuidad en las funciones de variables complejas, debemos de entender por función compleja de variable compleja, a una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
ResponderEliminarf : A c C → C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = Re f (z), v(z) = Im f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de estos sólo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Sea f : A c C → C y sea z0 C un punto de acumulación de A. Es decir,
D(z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0
(nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que
Lim f (z) = α ∈ C
A∈z→z0
Si (por definición)
∀Ε > 0, ∃Δ > 0 _ (0 < |Z − Z0| < Δ ∧ Z ∈ A) ⇒ |F (Z) − Α| < Ε.
Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra
∀(ZN) ⊂ A \ {Z0} _ ZN → Z0 ⇒ F (ZN) → Α.
Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A si
∃ LIM F (Z) = F (Z0).
A_Z→Z0
Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.
Funciones variables complejas.
ResponderEliminarLas funciones variables complejas,se considera que provienen de las funciones.
las funciones racionales,con la precaucion de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores( en OO)se extienden con el valor del limite finito o infinito y el resultado es siempre una funcion continua.
F(z)= 1___
2
2 +1
definimos z
e:C-->c mediante
x+iy x x
e =e cos y+ ie sen y
estas son las funciones basicas de una exponencial compleja.
la funcion exponencial compleja es continua y extiende al exponencial real
z1+z2 z1 z2
A)e = e e
_ _
z z
B)e = e
a+bi) d
c)(e =e
z
D)e dif.de 0
-z 1__
E)e = z
e
las funciones complejas no pueden representarse graficamente,debido a que su grafica tiene cuadro dimensiones.
Interpretación que se le da a la continuidad en funciones de variable compleja
ResponderEliminar Tenemos que la función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.
Podemos entonces decir que cuando la variable es un número complejo, la función se llama función de variable compleja.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
En la grafica la función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.
Para concluir tenemos que a la variable compleja también se le conoce como análisis complejo y tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.
Interpretación
ResponderEliminarLa continuidad es todo lo referido a puntos específicos del dominio de las funciones .Los limites entonces lo definimos como extensión del concepto de continuidad.
Las funciones de variables complejas son consideradas herramientas aplicadas en el área de matemática siendo de gran para la demostración de teoremas incluso en teoría de los números. Y vienen dadas de las funciones hiperbólicas que de estas a su vez se derivan las funciones homónimas reales definidas en el plano complejo como son las funciones seno y coseno hiperbólico.
Así como también para poder comprender mejor y aplicar el cálculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario conocer y comprender la definición de la continuidad.
En la definición se interseca a U(a) con D, dominio de la función, para asegurar que para
los puntos X considerados exista imagen f(X).
En particular, el conjunto U(a) ∩ D nunca es vacıo porque por lo menos contiene al punto a.
A partir de la definición de continuidad se extrae el siguiente teorema:
Teorema 3.4.1. Toda función es continua en los puntos aislados de su dominio.
a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a
Demostración.
Por definición de Pt.:
∀ U(f(a)) ∃ U(a) : U(a) ∩ D = {a}
Luego
∀ X ∈ U(a) ∩ D =⇒
∀ X ∈ {a} =⇒ f(a) ∈ U(f(a))
el l´ımite es una extensión de la noción de continuidad,
Y también por ello desde el punto de vista pedagógico se puede explicar y entender mejor dicho concepto.
Hay funciones continuas que no tienen l´ımite, las definidas sobre un punto aislado.
Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definición de continuidad se puede reducir
a una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f(a) respectivamente en los planos
z y w.
U(a) = {z: z − a < δ}
U (f(a)) = {w: w − f(a) < ǫ}
Resultando:
f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : z − a < δ} ∩ D =⇒ f(z) − f(a) < ǫ
La definición de continuidad se referıa a un punto especıfico a del dominio de la función.
Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la función es continua sobre el.
Definición de limite
Puede hacerse una extensión del concepto de continuidad a los puntos de acumulación del dominio de una función f (pertenezcan o no a el), cuando existe un elemento L del espacio E′ (donde se aplica f), que pueda hacer las veces de f(a) en la definición de continuidad. El liımite L es el valor hipotético que habrıa que asignarle al punto a para que la función fuera en el continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el liımite.
La diferencia formal de esta definición con respecto a la de continuidad es que se ha empleado el sımbolo V (a) en lugar de U(a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debe tenerse en cuenta si existe o no la función en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f(a).
saludos angel ardila 11300451
Publicado por angel ardila en 11:33
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo la cual tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas. El análisis complejo nos provee importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar.
ResponderEliminarSe llama n´umero complejo a todo par ordenado (x y) de n´umeros reales.
z := (x y) : x ∈ R, y ∈ R
z := N´umero complejo
Al n´umero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente
del n´umero complejo.
Asimismo, al n´umero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o
segunda componente del n´umero complejo.
Re(z) := x
Im(z) := y
Re(z) := parte real de z
Im(z) := parte imaginaria de z
Funciones de variable compleja.
Se llama funci´on de variable compleja a una aplicacion cuyo dominio D y rango R son subconjuntos
de C.
La notacion para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D y
w = (u v) para un elemento de R.
f ∈ func. var. compleja
D ⊂ C
R ⊂ C
f : D −→ R
z=(x y) 7−→ w=(u v)=f(z)
La continuidad permite realizar calculo integral, diferencial, sucesiones y series.
La definicion de continuidad se refiere a un punto especifico a del dominio de la funcion.
Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la funcion es continua sobre
el, y se escribe:
f ∈ C/A := ∀ a ∈ A =⇒ f ∈ C/a
f ∈ C/A := La funci´on f es continua sobre el conjunto A.