En vista de la inquietud de la clase, estoy verificando el enlace de la guía de problemas designada para realizar el trabajo de estudio, y el mismo funciona a cabalidad.
Es el primero de la lista de textos de apoyo en linea que no son realizados por el docente, deben esperar que la guía se abra tarda un poco pues esta en pdf y algunas veces ese proceso es lento en algunas maquinas. Luego pueden proceder a copiarlas o imprimir las secciones designadas en clase.
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Análisis, Comparación y Similitud entre Calculo de Función Analítica e Integrales de Función Analítica
ResponderEliminarUna función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función.
Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía piensa en términos de expresiones analíticas.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.
Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!
Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.
Continuaciòn de Análisis, Comparación y Similitud entre Calculo de Función Analítica e Integrales de Función Analítica
ResponderEliminarEn 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:
Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.
Cauchy afirma de las funciones analíticas; “El instrumento más adecuado para el estudio de las funciones analíticas es la integración de funciones de variable compleja”. Se trata de integrales calculadas a lo largo de contornos que cumplen ciertas condiciones de regularidad. Un contorno de integración es un arco c definido por dos funciones continuas
x=f(t) e y=?(t)
de la variable real t que varía en un intervalo [a, b], tales que para valores distintos del parámetro t los puntos correspondientes son distintos (arco simple de fardan), con la condición de que las funciones
Sea A una región del plano complejo, en el que está definida una función compleja de variable compleja f(z), y un contorno C de integración contenido en la región A. Se define como integral de la función f(z) a lo largo del contorno C, y se representa por
?f(z)dz
a la siguiente integral
?f(f(t) + i?(t))(f´(t)+i?´(t))dt,
obtenida sustituyendo formalmente z por
f(t) + i?(t),
y extendida al intervalo [a, b] de variación de t. Se puede asegurar la existencia de la integral, cuando f(z) esté acotada y sea continua sobre C, salvo a lo más en un número finito de puntos.
b) Al aplicar la definición de integral a las funciones analíticas se obtiene un resultado fundamental, enunciado primero por Cauchy y después perfeccionado por Goursat, que expresa, en ciertas condiciones, la independencia del valor de la integral respecto del camino, y que se puede enunciar de la siguiente forma:
Sea C un contorno de integración cerrado y f(z) una función analítica en una región A que contiene C y el interior de C; entonces es
?c f(z) dz=0.
Consecuencia del resultado anterior es la llamada fórmula integral de Cauchy, que expresa el valor de una función en un punto zo de la región de analiticidad A por medio de una integral a lo largo de un contorno C alrededor de dicho punto z0: f(z0)=1/(2?i)?f(z)/(z-z0)dz.
A partir de esta fórmula se pueden calcular las derivadas sucesivas de la función f(z) en zo obteniéndose
f(n)(z0)=n!/(2?i)?f(z)/(z-z0)n+1dz
que coinciden con el resultado que se obtiene por derivación formal de la fórmula de Cauchy respecto de zo.
Una de las consecuencias más sorprendentes de las fórmulas anteriores es que si f(z) es analítica en zo (lo que exigía la existencia de la derivada en zo y en un entorno de zo), en todos los puntos de un entorno de zo existen derivadas de todos los órdenes. Este resultado se completa, probando que el desarrollo en serie de potencias que se obtiene formalmente por la fórmula de Taylor converge, y así resulta que toda función analítica en zo admite un desarrollo en serie de potencias de z-zo en un entorno de zo (Serie de Taylor).
DIFERENCIAS Y SIMILITUD ENTRE FUNCIONES ANALITICA E INTEGRALES.
ResponderEliminarFunción Analítica: una función f(z) es Analítica en un punto z0 si su derivada f`(z),existe tanto en z0 como en cada punto z de un cierto entorno de z0
En una función Analítica se deriva:
CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMAN: una condición necesaria para que la función w=f(z) = U(x,y)+iv(x,y)sea Analítica en una región R es que en los puntos de dicha región se cumplan las ecuaciones correspondientes.
También podemos encontrar las FUNCIONES ELEMENTALES: donde se determina la región de cada una de ellas.Tenemos las siguientes:
Polinomios, Funciones Racionales, Función Exponencial, Funciones Trigonométricas, Funciones Hiperbólicas, Funciones Logarítmicas, funciones Potencial, Funciones Algebraicas, Funciones Elementales, entre otras...
INTEGRALES: La integración de una función compleja de variable compleja entre 2 puntos Z1, Z2 a lo largo de un camino C que los une, el cual puede ser abierto o cerrado según el caso.
Y se reduce al cálculo de las 2 integrales curvilíneas reales a lo largo de la curva continua C.
El Teorema integral de Cauchy: es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.
Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D.
A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente:
Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "z0" de C, se cumple la función correspondiente.
El teorema de Morera: indica que si el f es un continuo, el complejo la función valorada definió en un abierto D del sistema en el plano complejo, satisfaciendo del l \ oint_C f (z) \, DZ = 0, para cada cerrado C de la curva en el D, entonces f debe ser olomorfo en el D.
La asunción del teorema de Morera es equivalente a ese f tiene un anti-derivado en el D.
El inverso del teorema no es verdad en general. Una función olomorfa.
El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D.
Estos entre otros teoremas nos demuestras diferentes ecuaciones de Integrales.
Las funciones Analitas y los integrales son ecuaciones matematicas en ambas se utilizan el teorema o condicion de Cauchy.
Las funciones analiticas es aplicable en diferentes funciones elementales y en la integral se muestra diferentes teoremas.
SIMILITUD ENTRE FUNCIONES ANALITICAS Y CALCULO DE INTEGARLES:
ResponderEliminarUna funcion es ANALITICA en un abierto A si posee derivada en todo punto A.Cuando se dice que una funcion f es analitica en un conjunto s que no es abierto, quedara sobrentendido que f es analitica en algun abierto que contiene a s. Cuando decimos que una funcion es analiticaen punto Zo, la derivada debe existir en todos los puntos de algun entorno de Zo.
La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].
Esto indica que la semejanza entre las dos es que ambas trabajan de un punto determinado a otro.
Funciones complejas de variable compleja. a) Si A es una región del plano (o esfera) complejo, toda aplicación
ResponderEliminarf:A-->C
de A en el plano (o esfera) complejo es una función compleja de variable compleja de dominio A y recorrido f(A). Si al número complejo
z=x+iy
le corresponde el
w=u+iv
en f, se escribe
w=f(z).
Para la representación gráfica de la función f(z) se consideran dos planos complejos, el z y el w, y la función f hace corresponder a cada punto z E A del primer plano, un punto
w ? f(A)
del segundo. Se precisa esta representación considerando en el plano z una red formada por dos familias de líneas y fijando en el segundo plano w sus imágenes. Cada punto intersección de dos líneas en el plano z tiene como imagen el punto intersección de las imágenes de dichas líneas en el plano w.
Como tanto
z=x+iy
como
w=u+iv
son vectores (v.) bidimensionales, la función w= f (z) queda determinada por dos funciones reales de dos variables reales:
u=u(x, y) y v=v(x, y).
Considerando en el plano z la red de rectas paralelas a los ejes, sus imágenes en el plano w son las curvas que en forma paramétrica se obtienen fijando, en las ecuaciones anteriores, bien la x, bien la y.
b) Como al plano complejo se puede dar estructura de espacio euclídeo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS n), tomando como distancia entre dos puntos el módulo de la diferencia, resulta aplicable el concepto general de continuidad para las aplicaciones entre espacios métricos:
w=f(z)
es continua en un zo <-- A, si para cada e > 0 real, existe un d > 0 real, tal que para todo z E A que cumpla
¦z-zo¦< d,
se verifique
¦f(z)-f(z0)¦< e.
Si el conjunto A contiene el punto del infinito (caso de la esfera compleja), se cambia la distancia euclídea por la cordal que es la longitud del segmento que une los dos puntos de la esfera compleja, imágenes de los dos del plano.
ResponderEliminarc) Tanto la definición de función como la de continuidad son las usuales para las funciones vectoriales de variable vectorial, e igualmente se podría introducir la noción de diferencial como la aplicación lineal tangente, en el punto que se considere. Sin embargo, esta teoría general adquiere un carácter particular muy notable cuando se introduce el concepto de derivada de f (z) respecto de la variable compleja z. La estructura formal de la definición es análoga a la de las funciones reales, pero su contenido es totalmente distinto. Efectivamente, la aplicación lineal que aproxima a
?=f(z)
en el entorno de un punto, en el que existe la derivada y es distinta de cero, es la compuesta de un giro y una homotecia.
La derivada f'(zo) de la función f(z) en el punto zo, es
f'(z0) = lím ((f(z)-f(z0)/(z-z0)) = lím?f(z0)/(?z0)
z-->zo z-->zo
donde los valores que toma Azo son cualesquiera en un entorno del origen, y el límite ha de existir independientemente de la manera de tender Ozo hacia 0. De esta definición resulta que si la función f(z) es derivable en zo, es continua en este punto (v. CÁLCULO I).
Si la función f(z) tiene derivada no nula en el punto z0, es
w-w0=f´(z0)(z-z0)
una aproximación lineal y de primer orden (por lo menos) de la función f(z) en el punto zo, lo que permite un estudio local de la función en un entorno del punto (fig. 3). Si p es el módulo de f'(zo) y a su argumento, resulta que del incremento Ozo en el plano z se pasa al incremento Owo en el plano w, multiplicando el módulo por el número positivo p y realizando un giro de magnitud a. De esta propiedad resulta que dos curvas que se corten en el punto zo formando un ángulo v, tendrán como imágenes dos curvas que se cortarán en wo formando el mismo ángulo y. Si esta propiedad se cumple en todos los puntos de una región A, resulta que la correspondencia entre los planos z y w definida por la función f(z), que tiene derivada no nula, conserva los ángulos, lo que también se expresa diciendo que la aplicación de A en f (A) es conforme.
d) Para la existencia de la derivada f'(zo), que como se ha indicado exige de la diferencial que sea una aplicación compuesta de un giro y de una homotecia, las funciones u(x, y) y v(x, y) han de cumplir determinadas condiciones. Supuesta la existencia de las derivadas parciales primeras de estas funciones en el punto (xo, yo), son condiciones necesarias para la existencia de f'(zo),, las denominadas de Cauchy-Riemann:
ResponderEliminardu/dx=dv/dy y du/dy=-dv/dx en (x0,y0)
y si tales derivadas parciales son continuas en (xo, yo), estas condiciones son suficientes.
Se dice que f(z) es analítica en zo si existe f'(z) en zo y en un entorno de este punto. Una función será analítica en una región del plano complejo cuando lo sea en cada uno de los puntos. De la definición resulta que la región será abierta.
Son funciones analíticas en todo el plano complejo, las racionales enteras w=p(z), donde p(z) es un polinomio con coeficientes complejos. Las racionales
w=p(z)/q(z)
son también funciones analíticas en todo el plano salvo para los valores de z que anulan al denominador
Integrales de funciones de variable compleja.
Si Ω es un dominio en el plano complejo y f : Ω → C es una función de variable compleja, ¿cómo
Podríamos definir la integral de f entre dos puntos z1 y z2 de Ω, digamos Rz2
z1
f (z) dz?
f (x) dx de una función de variable real, nos valemos de la noción intuitiva de área construyendo aproximaciones cada vez mejores del área de la región comprendida entre la curva de ecuación y = f (x) y el intervalo [x1, x2] del eje OX mediante sumas finitas de la forma Pn f (xn)∆xn cada una de las cuales corresponde a una partición del intervalo [x1, x2]. Para extender este proceso a integrales de funciones complejas nos encontramos con dos dificultades. La primera es que ahora no tenemos la noción intuitiva de integral como área y la segunda es que para ir de z1 a z2 podemos seguir muchas curvas (sin salirnos del dominio Ω) y cada curva podría proporcionar (tras el proceso de hacer particiones, construir las sumas y tomar límites) un valor diferente de la integral.
Integración Compleja
Sabemos que la integral de línea de un campo vectorial real plano F (x, y) entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) no depende del camino utilizado para ir desde el primer punto hasta el segundo cuando el campo es conservativo. En consecuencia, podremos definir integrales de funciones de variable compleja que sólo dependan de los puntos entre los que integremos, y no del camino usado para ir de uno a otro, cuando, al realizar la identificación de una función de variable compleja con un par de funciones reales de dos variables, el campo vectorial que aparezca en la integral de línea sea conservativo. Fueron C. F. Gauss y A. L. Cauchy quienes descubrieron que las funciones de variable compleja que cumplen esta condición son, precisamente, las funciones analíticas.
como lo han expresados mis compañeros tanto la funcion analitica como el calcula de las integrales de funcion analiticas utilizan las escuaciones de cauchy, tambien trabajan dentro del mismo dominio y entre dos punto del plano, tambien la integrales nos ayuda estudiar la funcion realizando muchas curvas pero dentro del mismo dominio sion salirnos de el
ResponderEliminarANALISÍS Y SIMILITUD ENTRE LOS CAPÍTULOS 2, 3 Y CAPÍTULOS 4, 5
ResponderEliminarEl término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.
Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
• La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
• Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
“Ya que la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, del cociente y de la cadena, se tendrá que las sumas, productos, y cobién holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero.
Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa. Ver demostración de que las funciones holomorfas son analíticas.
Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.
Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.
La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco”.
Capitulo 4 Series de potencias
ResponderEliminarSeries De Potencia Series de potencias Convergencia de las series de potencias Definición Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x “ (−1,1) (con suma 11−x , como sabemos.
Capitulo 5 Residuo
Se denomina residuo de una función analítica f(z) en una singularidad aislada z = z0 al número
donde C representa una circunferencia de centro z0 y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo z0.
Si f(z) tiene una singularidad evitable en z0, el residuo es .
Si f(z) tiene un polo de orden N en z0, entonces el residuo se puede calcular como:
En particular, si N = 1 (polo simple),
Si el punto z0 es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a z0. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente − 1.
HENYER GUEVARA
16146664
Análisis, Comparación y Similitud entre Calculo de Función Analítica e Integrales de Función Analítica
ResponderEliminarEl término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.
En matemáticas, función analítica es a función eso localmente es dada por una convergente serie de energía. Las funciones analíticas se pueden pensar en como puente en medio polinomios y funciones generales. Existen ambos funciones analíticas verdaderas y funciones analíticas complejas, categorías que son similares en cierto modo, solamente diferente en otros. Las funciones de cada tipo son infinitamente diferenciables, pero las funciones analíticas complejas exhiben las características que no sostienen generalmente para las funciones analíticas verdaderas. Una función es analítica si es igual a su Serie de Taylor en alguno vecindad.
Sabemos que la integral de línea de un campo vectorial real plano F (x, y) entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) no depende del camino utilizado para ir desde el primer punto hasta el segundo cuando el campo es conservativo. En consecuencia, podremos definir integrales de funciones de variable compleja que sólo dependan de los puntos entre los que integremos, y no del camino usado para ir de uno a otro, cuando, al realizar la identificación de una función de variable compleja con un par de funciones reales de dos variables, el campo vectorial que aparezca en la integral de línea sea conservativo. Fueron C. F. Gauss y A. L. Cauchy quienes descubrieron que las funciones de variable compleja que cumplen esta condición son, precisamente, las funciones analíticas.
HENYER GUEVARA
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